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17. 고흐의 예술철학을 통하여 생각해보는 수학적 창의력 이번 글에서는 고흐가 그의 창작 활동을 통하여 생생한 경험으로 정의하는 창의력을 살펴보고, 그의 예술할동에서 말하는 창의력이 교육학 전문가들이 규명하는 창의력에 어떤 시사점을 주는지 논의 한다. 다음으로 초등학생들의 수학적 창의력 함양을 위해 학부모나 교사가 그들의 수학 학습을 어떻게 돕는 것이 좋을지에 대해 몇 가지 제안한다. 이 글은 전반적으로 필자가 2025년에 초등학교 학생들의 학부모 대상으로 실시한 강연 내용을 포함한다. - 작성 중 -
16. 인공지능 시대 수학적 사고력 - 분수의 곱셈에 적용 우리 일상의 삶 속에서 챗지피티, 제미나이, 클로드 등 인공지능(AI)의 활용은 점점 늘어나고 있다. 학자들이 전문 분야 논문을 쓸 때 똑똑한 포스터 닥터가 되어주고, 유투브 숏츠로 실리는 코믹한 아동 대상 인터뷰 동영상도 만들어주고, 이미지를 포함하는 소설도 제작해주고, 금융 주식 등 분석, 개별 건강관리 프로그램 기획, 대학생들은 수강신청 전 자신의 진로에 맞는 자문도 받을 수 있다. 초등학생도 간단한 사용법을 익히면, 수학 학습 시에 개인 과외선생으로 활용할 수 있다. 그러나 아직 문제점이 있다. AI의 산출물들을 100% 인정할 수 없다는 것이다. 우리가 구하는 것의 수준과 정확도를 높이기 위해 AI 에게 질문을 명료하게 잘 하는 것도 중요하지만 그의 답의 진위를 파악하고 추가적인 질문..
15. 공간을 보는 눈, 어떻게 키울까? (2) 글 (1)에서 쌓기나무로 다양한 대상들을 만들고 관찰하는 활동을 공간감각을 키우는 한 방법으로 제시했다. 이런 활동 후에 사고를 확장하고 창의력을 키울 수 있는 다음 활동을 해 볼 것을 제시한다. 1. 쌓기나무와 색종이, 빨대 등을 활용하여 작은 마을을 구성해보는 활동이다. 아동 혼자보다는 3~4명으로 구성된 팀 활동을 추천한다. 몇 가구의 집이 있고 골목을 빠져나가면 우체국, 베이커리, 버스 정류장도 있는 마을을 만들 수 있고, 어떤 팀은 부근에 개천과 다리를 만들고, 또 어떤 팀은 부근에 작은 공원을 만들어 축구 골대도 세울 수 있을 것이다. 시대를 반영하여 전기차 충전소도 세우고, 로봇이 택배를 배달하는 장면도 넣을 수 있다. 사진 : ChatGPT로 제작 2. 부모님, 또는 친구와 함께 살고..
14. 공간을 보는 눈, 어떻게 키울까? (1) 공간을 논리적으로 분석하기 전에 경험으로 공간을 보는 눈을 키우는 것이 중요하다. 이것은 초등학교 기하 학습의 목표이기도 하다. 공간 시각화 능력을 자연 속에서 키우는 방법으로 쌓기나무를 가지고 놀아볼 것을 초등학교 교과서에서 추천하고 있다. 아동들이 쌓기나무로 만들어볼 수 있는 우리 주변의 대상은 아주 다양하다. 예로 계단, 책상, 의자, 학교 건물, 등대, 기차, 배, 로봇 등. 만든 대상들의 길이, 높이, 크기를 비교해보거나 특정 방향에서 보이는 모양을 관찰할 수 있다. 예로, 아래 질문을 통하여 아동들이 공간 내의 다양한 대상들을 어떻게 관찰할 지 안내할 수 있다. 선생님: 쌓기 나무를 가지고 집을 만들어볼까?(다 만든 후에) 위에서 보면 어떤 모양이니?앞에서 보면 어떤 모양이니?옆에서 ..
13. 초등 기하 학습 어떻게? 수학교육자들은 수학의 출발을 우리가 살고 있는 세상의 여러가지 현상을 정리하고 조직하면서 시작된 것으로 본다. 물론 수학자들도 이에 대해 동의할 것이다. 처음엔 원시적이고 소박하게 출발하여 점점 형식화 되며 발전해 왔다. 따라서, 기하 내용의 전개 순서는 인간의 인지 발달을 내포하고 있다고 볼 수 있다. 초등수학에서 배우는 기하의 내용을 간략히 살펴보자 (2022 개정교육과정에 따름).1~2 학년은 여러가지 모양에 대해 단순히 시각적으로 인식하며(분류, 특성 파악), 기본도형의 기초요소를 배운다. (모양을 만들고 위치, 방향을 바꾸는 활동)3~4학년에서 평면도형의 기본요소와 이동, 다각형의 성질을 배운다. 5학년에서는 도형의 합동과 대칭 등의 성질을 배우고 다각형의 둘레와 넓이를 측정해본다. 또한 ..
12. 분수 학습의 수직선 모델 - 상위 개념과 연결 분수 덧셈을 사각형 띠 모델, 원 모델, 면적 모델 등 여러 모델을을 이용하여 익힌 후에, 분수가 수직선 위 두 자연수 사이 어느 점에 위치하는 수임을 받아 들이는 학습 과정이 필요하다. 수직선 모델을 사용하여 균형 잡힌 ‘수(numbers)’ 교육으로 나갈 것을 권한다. 다양한 모델을 이용하여 분수를 어떤 조각으로 연상하는 개인화/배경화 단계에서 벗어나, 앞으로 배울 소수, 음수의 학습으로 연결될 수 있도록 수직선 위의 수로 이해하게 하는 것이 바람직한 방향이다. 수직선 위에 자연수와 분수를 표시하여 수의 대소 관계를 시각적으로 익히고, 분수의 덧셈 연습을, 좋아하는 이모티콘을 사용하여 이동시키며 해나가는 동안 연산에 대한 지식을 내면화 할 수 있을 것이다. 0 -> 1/2 -> 3/4 ….선생님: ..
11. 면적모델 - 분수 덧셈에 대한 관계적 이해 수학교육자 리차드 스켐프는 이해를 도구적 이해와 관계적 이해로 구분하여 정의했다. 도구적 이해는 식이나 알고리즘을 이용하여 문제를 풀 수는 있지만, 그 식 또는 알고리즘이 어떻게 만들어졌는지 유도과정을 알지 못하는 상태의 이해다. 관계적 이해는 그 유도과정도 알고 문제도 풀 수 있는 이해 상태이다. 수학 수업에서 공식을 적용하여 빠르게 문제풀이 하도록 학습자를 훈련한다면, 학생은 도구적 이해 상태로 봉착할 위험이 크다. 사고력을 기르는 학습이 아니라 재미없는 기계적 학습이 될 수 있다. 수학에 흥미를 잃게 되고 수학 학습에 영영 손을 놓는 경우도 있다. 그러나 스켐프는 관계적 이해를 수반하는 학습은 기억을 돕고, 적용을 가능하게 하며 학습의 전이도 기대할 수 있다고 주장했다. 이는 수학교육에 관..
10. 영호의 새로운 도전 -분수의 덧셈 영희의 4학년 동생 영호가 어깨 너머 누나 영희와 피자가게 아저씨의 분수 덧셈 과정을 보면서 기발한 아이디어를 발휘했다. 식을 여러번 길게 나열하여 시도했고 새로운 방법이다. 마지막 단계에서 누나의 도움을 받아 덧셈을 해결하여 기뻐했다. 영희: 너는 왜 이 식을 여섯번이나 되풀이 해서 썼니?(아래 그림 참조)영호: 나는 분수는 잘 몰라. 1/2, 1/3 은 누나가 알려줘서 알지만. 1/2 을 두 번 더하면 1, 1/3은 세 번 더하면 1이된다는 것을 알아. 영호: 두 식만 써서 더하면 1/3 + 1/3 이 되어 1이 안돼. 세 식을 써서 더하면 1/2 + 1/2 + 1/2 이 나오는데, 1보다 크지만 2는 안돼. 네개의 식도, 다섯 개의 식도 써서 더해 보면 문제가 있어. 그런데 식을 여섯 번..
9. 1/2과 1/3을 더하면? - 피자가게 아저씨의 풀이 영희는 동네 피자가게에 방문하여 이번에는 분모가 다른 분수의 합을 설명하기로 했다. 같은 길이의 직사각형 띠로 아래 그림을 그리며 설명하였더니, 피자가게 아저씨는 원판 모양의 피자를 그려서 다른 방법으로 합을 찾는 시도를 했다. 1/2을 피자 반판으로, 1/3은 피자 3등분하여 1조각으로 그림을 각각 그린 후에, 영희가 사각형 영역을 서로 붙였듯이 아저씨는 피자 조각을 붙였다. 그런 후에 고심하여 각 피자가 어떤 각도를 갖는지 찾고, 합하여 붙여 놓은 피자의 각도도 계산하여 두 분수의 합을 찾아냈다. 이 블로그에서 현재까지 분모가 다른 분수의 합을 사각형 모델, 원 모델 등을 이용하여 설명하였다. 이 후 글에서는 도형을 이용한 모델도 소개할 것이다. 다양한 모델을 활용하여 수학 개념을 접하는 경험은..
8. 형식 전에 경험을 - 분모가 다른 분수의 합 퀴즈네르 막대기 등 여러 교구를 사용하여 활동하며 시각적으로 확인할 수 있는 자연수의 덧셈에서 벗어나 보다 높은 수준의 분수의 덧셈이나 뺄셈을 처음 학습할 때(5학년 1학기) 아동들은 인지적 어려움을 겪게 된다. 예로 1/2과 1/3을 더해 보자. 대부분의 교과서에서는 같은 길이의 직사각형 띠 두 개를 이용하여 시각적으로 설명한다. 한 띠는 이등분 하여 한 부분을 색칠하고, 다른 띠는 3 등분하여 한 부분을 색칠해 놓은 후, 색칠된 두 부분을 연이어 붙여놓고 색칠된 영역을 설명할 수 있는 새로운 분수 1/6을 찾게 할 수 있다. (1) 그림에서와 같이 두영역을 붙여 색칠한 부분을 탐구하여 5개의 1/6 로 이루어짐을 알아내어 두 수의 합은 5/6라고 설명할 수 있다. (2) 대부분의 교과서에서, 설명..

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