10. 영호의 새로운 도전 -분수의 덧셈

영희의 4학년 동생 영호가 어깨 너머 누나 영희와 피자가게 아저씨의 분수 덧셈 과정을 보면서 기발한 아이디어를 발휘했다.  식을 여러번 길게 나열하여 시도했고 새로운 방법이다.  마지막 단계에서 누나의 도움을 받아 덧셈을 해결하여 기뻐했다.  

영희: 너는 왜 이 식을 여섯번이나 되풀이 해서 썼니?
(아래 그림 참조)

영호: 나는 분수는 잘 몰라.  1/2, 1/3 은 누나가 알려줘서 알지만.  1/2 을 두 번 더하면 1,  1/3은 세 번 더하면 1이
된다는 것을 알아.

영호: 두 식만 써서 더하면 1/3 + 1/3 이 되어 1이 안돼.
세 식을 써서 더하면 1/2 + 1/2 + 1/2 이 나오는데, 1보다 크지만 2는 안돼.
네개의 식도, 다섯 개의 식도 써서 더해 보면 문제가 있어.
그런데 식을 여섯 번 써놓고 보니, 모두 더하면 내가 잘 아는 자연수가 돼.  3, 2 가 되네. 그래서 다음 식을 얻었어.
            5 = 6x(?)

영호: 이제 6을 곱해서 5가 되는 수를 찾아야 하는데, 이 수는 분수가 되겠네 ?  곱했는데 6이 5로 작아졌으니 …

영희: 먼저 6을 이용하여 ‘6분에 어떤 수’가 5가 되는지 찾아보자.

영호: 1을 5번 더하면 5가 되지.  아! 6/6을 5번 더해.

영희: 우리 영호 잘 하네.  그래서 모두 분모가 같은 6이니 분자 6을 5번 더하면, 5는 다음과 같이 쓸 수 있지.
5 = (6+6+6+6+6)/6 이지.  분자에 6이 5개 있으니, 이 식을 다시 쓰면 ?

영호: 5 = (5•6)/6 = (6•5)/6.

영희: 이것을 6•(5/6) = 5 로 쓸 수 있어.

영호: 아!  답은 6분의 5구나.

영희: 이제 누나가 다른 방법으로 풀어볼게.  너한테는 좀 어려울거야.  5 는 1곱하기 5 인데, 1은 6 곱하기 어떤 분수이니?  그 분수를 찾아서 5를 다시 써보자.

영호: 1/6이 여섯 개 있으면 1이야.

영희: 맞아!  그래서 1 = 6 •(1/6),  따라서,
5 = 1•5 = (6•1/6)•5 = 6•(1/6 •5) = 6• (5/6)
그런데 네가 찾은 식이, 5 = 6•? 이니, 너가 찾는 수는 5/6 가 되네.
(? 는 영호의 네모 기호)

여기서, 영호는 2, 3 의 최소공배수가 6이 됨을 발견한 셈이다. 이렇게 분자가 1이고 분모가 다른 분수의 덧셈과 같이 기초적인 경우에 대해 다양한 방식으로 분수의 덧셈을 내면화 하는 과정은 중요하다.  좀 더 난이도가 있는 분수 덧셈에 대한 아이디어를 얻어낼 수 있으며, 그런 과정에서 사고하는 힘이 길러진다.

이것은 너무 쉬우니 빨리 넘어가고 좀 더 어려운 단계의 계산을 해보라고 재촉한다면, 기초 개념을 내면화하는 과정을 소홀히 하게 되어, 수학을 잘 하고 좋아하게 되는 길에서 점점 멀어지게 될 것이다.