11. 면적모델 - 분수 덧셈에 대한 관계적 이해

수학교육자 리차드 스켐프는 이해를 도구적 이해와 관계적 이해로 구분하여 정의했다.  도구적 이해는 식이나 알고리즘을 이용하여 문제를 풀 수는 있지만, 그 식 또는 알고리즘이 어떻게 만들어졌는지 유도과정을 알지 못하는 상태의 이해다.  관계적 이해는 그 유도과정도 알고 문제도 풀 수 있는 이해 상태이다.
수학 수업에서 공식을 적용하여 빠르게 문제풀이 하도록 학습자를 훈련한다면, 학생은 도구적 이해 상태로 봉착할 위험이 크다.  사고력을 기르는 학습이 아니라 재미없는 기계적 학습이 될 수 있다.  수학에 흥미를 잃게 되고 수학 학습에 영영 손을 놓는 경우도 있다.
그러나 스켐프는 관계적 이해를 수반하는 학습은 기억을 돕고, 적용을 가능하게 하며 학습의 전이도 기대할 수 있다고 주장했다.  이는 수학교육에 관여하는 사람이라면 누구나 동의할 수 있는 주장이다.
아래 관계적 이해의 예를 살펴보자.

영희는 다음 선생님의 힌트를 곰곰히 생각하며 시행착오를 거쳐 1/2과 1/3을 같은 모양의 두 사각형을 이용하여 시각화 했다(그림1).  
선생님:  (힌트)  사각형을 항상 수직선으로 (열로) 나눌 필요가 있을까?

한편, 이 블로그의 앞의 글에서는 두 분수를 각각을 열로 나눈 두 사각형 띠로 표현 했을 때, 두 분모의 가장 작은 공배수 (최소공배수)를 찾아, 두 사각형 띠에 열을 추가하여 세분화 했는데, 이 것도 시각화의 한 방법이다.  관계적 이해를 돕는다.

             <그림1>

그런 후에, 영희는 두 사각형을 겹쳐서 새로 만든 사각형으로 이 최소공배수를 찾아내고 (그림2),

영희: 겹쳐 보니까 한 사각형을 두 행과 세 열로 나누어 6등분하여 작은 사각형들로 나눈 것이 되었네.
이제 색칠 부분들의 면적을 6분의 뭐 이렇게 말 할 수 있어.  이 때 전체 면적을 1이라 해야 하자.
노란색 색칠 부분은, 작은 사각형 3개, 그래서 3/6이고,
연두색 색칠 부분은 작은 사각형 2개로, 2/6가 되네.
그래서, 합치면 작은 사각형의 총 갯수는 5개, 면적은 5/6 구나!  (그림3)

영희는 공배수 6이 어떻기 나오는지를 파악하면서 분수의 덧셈을 쉽게 시각화 하여 구하였다.  결과적으로, 영희는 두 분수의 덧셈에 대해 관계적 이해에 도달했다고 볼 수 있다.

               <그림2>

                 <그림3>

한편, 1/2과 1/4를 더할 때 이 방법을 쓰게 되면, 사각형을 8등분하게 되고 최소공배수 4 대신 공배수 8을 찾아 덧셈을 완성하게 된다.  분수 덧셈의 처음 단계에서 중요한 것은 어쨋던 공배수를 찾아 해결하는 일이다.  공배수 중에 최소공배수를 이용하는 것이 최적이라는 사실을 아는 것은 시간 문제이다.  여기까지 이해를 했다면 관계적 이해를 한 셈이다.

**그림은 글쓴이가 직접 제작함